اجزا محدود: روشی در شبیه سازی

هدف از روش اجزا محدود و شبیه سازی و حل هر مسئله‌ی مهندسی، ساده سازی آن مسئله و تقسیم آن به چند مسئله ساده تر است. حتما از بخش قبل مثال هواپیما را خاطرتان هست. حالا فرض کنید بجای مطالعه کل بدنه هواپیما فقط میخواستید روی بخشی از بال آن کار کنید. تفاوت دشواری مسئله بسیار محسوس است!

از آنجایی که مسئله اصلی با مسئله ساده تری جایگزین می‌گردد، پس از حل سلسله مسائل تنها قادر به یافتن تخمینی از جواب مسئله اصلی هستیم. ابزارها و روشهای ریاضیاتی تا به امروز فقط به دقیقتر کردن تخمین کمک کرده‌اند و هنوز نتواستند اثر خود را در یافتن جواب دقیق و اصلی (غیر تخمینی) بگذارند. با این حال وقتی از بین سایر روشهای حل مسئله، که در پست قبلی شرح داده شد، امکان حل به روش دیگری نیست انتخاب روش اجزا محدود از بهترین گزینه‌ها است. کما اینکه امروزه با این همه پیشرفت تکنولوژی و طراحی‌های خارق‌العاده که هر روزه در دنیای اطراف می‌بینید روش اجزا محدود از پرکاربردترین روشها در سطوح مبتدی تا پیشرفته ترین حالت مهندسی است.

در روش اجزا محدود منطقه خاصی برای حل مسئله انتخاب می‌شود. مانند همان انتخاب بال هواپیما در حل مطالعه بدنه‌ی آن. این محیطهای حل به بخشهای کوچکتری تقسیم می‌شوند تا حل عددی روی آن بخش موسوم به جز محدود اعمال شود. این تقسیم بندی ها با اصول علمی مهندسی انجام می‌شوند تا حل بدنه‌ی هواپیما به شکل زیر انجام شود:

اجزا محدود

گرچه این روش در ابتدا بسیار سریع در مهندسی مکانیک و سازه بطور گسترده مورد استقبال و استفاده قرار گرفت اما امروزه جز اصلی مطالعات انتقال حرارت، دینامیک سیالات، جریان، میدانهای مغناطیسی، الکتریسیته و دیگر زمینه‌های شبیه سازی کامپیوتری مسائل مهندسی شده است. از آنجاییکه نیاز مادر اختراعات بشری است، این کاربردها روز به روز به هرچه غنی تر شدن روشهای ریاضیاتی و محاسباتی برای حل شرایط مرزی و مسائل پیچیده منجر شدند. به شبیه سازی های یک بعدی انقال حرارت در یک میله، جریان سیال در لوله، جریان تنش در میله تحت بار محوری و جریان الکتریکی در یک سیم فکر کنید. شباهت‌های شبیه سازی در این مسائل که از طیف گسترده‌ای از رشته‌ها و زمینه‌های مهندسی اند کاربرد و نقطه قوت اصلی روش اجزا محدود است.

روش حل صریح و ضمنی

روش اجزا محدود از روشهای حل عددی است. بدیهی است با این تفاسیر تئوری و اصول این روش در ریاضیات و روشهای محاسبات عددی ریشه داشته باشد. روشهای implicit و explicit نیز از تئوری‌های محاسبات عددی هستند.

“روش ضمنی (Implicit) با حدس اولیه مسئله را برای بازه زمانی تا همگرا شدن به جواب خاصی حل می‌کند. در حالیکه در روش صریح (Explicit) مسئله در هر گام زمانی حل شده و برای حل مرحله بعدی از لحظه استفاده می‌شود.”

آیا جمله فوق شما را در درک این دو روش راضی نمی‌کند؟ در این نوشته قصد آموزش تئوری این روشها را نداریم ولی آنچه که شما باید برای ادامه بدانید آن است که در روش Implicit (ضمنی) مسئله با تشکیل ماتریس سختی و حل مستقیم معادلات حل می‌شود در حالیکه در روش Explicit (صریح) پارامتر زمان و گام زمانی بسیار مهم اند.

حل مسئله به روش ضمنی زمان بیشتری می‌برد ولی دقیقتر است.

یک “اما”ی بزرگ برای جمله فوق وجود دارد که در بسیاری از کاربردها روش ضمنی امکان همگرایی ندارد! یعنی اصلا جوابی بدست نمی‌آید که نگران دقت آن باشیم.

کاربردهای روشهای صریح و ضمنی

روش ضمنی Implicit

این روش برای تمام مسائلی که قادر به حل آنها باشد و هر مسئله‌ای که نتوان با آن حل کرد را سعی می‌کنیم به روش صریح حل کنیم. مسائلی که عموما با روش ضمنی حل می‌شوند در آنها تغییرات با نرخ بسیار سریع یا به مقدار بسیار زیاد رخ نمی‌دهد. یعنی مثلا اگر راجع به یک مسئله تغییر شکلی صحبت کنیم در آن نرخ کرنش بسیار بالا یا مقدار تغییر شکل (deforming) خیلی زیاد نیست. از نمونه این مسائل می‌توان به استاتیک، تحلیل میدان، تحلیل سازه، تحلیل تنش، خزش و بسیاری از موارد دیگر اشاره کرد.

روش صریح Explicit

روش صریح در مسائلی کاربرد دارد که یا نرخ تغییرات بسیار بالا باشد مانند مسائل برخورد، انفجار و غیره یا تغییر شکل غیر خطی زیادی رخ دهد مانند شکل‌ فلزات در مهندسی مواد و بسیاری موارد دیگر.

اجزا محدود

نرم افزارهای موجود در حل اجزا محدود

در حل مسائل به روش اجزا محدود یا از یک بسته نرم افزاری استفاده یا اقدام به کدنویسی می‌کنید.

کدنویسی

در این حالت دو نمونه شرایط ممکن است پیش بیاید. شما می‌توانید تمام مسئله را با علم به اجزا محدود، ریاضیات و دانش حل آن مسئله کدنویسی و شبیه سازی کنید. در اینجا بیشتر از متلب، پایتون، فرترن و زبان C استفاده خواهید کرد. شرایط دوم آن است که در یک بسته نرم افزاری مانند آباکوس برای هدف خاصی اسکریپت نویسی به زبان  پایتون می‌کنید.

بسته های نرم افزاری

در حل اجزا محدود دو نرم افزار آباکوس و انسیس معروف ترین محصولات بین مهندسین هستند که هر دو روش ضمنی و صریح را پوشش می‌دهند. آباکوس با بسته abaqus/Explicit خود و انسیس با Autodyn امکان حل مسائل صریح را بوجود آورده اند.

 

همچنین جهت مطالعه بیشتر یا استفاده بعنوان منبع علمی در مسائل Dynamic از مقاله زیر استفاده نمایید: